B. Lingkaran
Lingkaran adalah
himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik
tertentu sama panjang. Titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkaran dan
jarak yang sama dinamakan jari-jari lingkaran. Lingkaran merupakan kurva tertutup
sederhana.
Dengan menggunakan konsep jarak :
((x – a)2 + (y – b)2)1/2 = CP
((x – a)2 + (y – b)2)1/2 = r
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Jadi, persamaan umum lingkaran adalah (x
– a)2 + (y – b)2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran jika
diketahui titik pusatnya adalah (0,0) yang memiliki jari-jari 3.
Penyelesaian :
Cara 1 : Dengan menggunakan persamaan
umum kurva berderajat dua.
Titik-titik
yang dilalui oleh lingkaran tersebut adalah (3,0); (0,3); (-3,0); (0,- 3);
(5/2,5/3); dan (-5/2,5/3).
Subtitusikan titik-titik tersebut ke
persamaan umum kurva berderajat dua :
(3,0) =>
9A + 3D + F = 0 … (1)
(0,3) =>
9B + 3E + F = 0 … (2)
(-3,0) => 9A – 3D + F = 0 … (3)
(0,-3) => 9B – 3E + F = 0 …
(4)
(5/2,5/3) => 25A/4 + 25B/9 + 25C/6 + 5D/2 + 5E/3 + F = 0 … (5)
(-5/2,5/3) => 25A/4 + 25B/9 - 25C/6 - 5D/2 + 5E/3 + F = 0 … (6)
Eliminasikan persamaan (1) dan (3)
9A + 3D + F = 0
9A – 3D + F = 0 -
6D = 0
D = 0
D = 0 disubtitusikan ke persamaan (1)
sehingga
9A + F = 0 ó F = -9A
Misalkan A = 1 maka F = -9
Eliminasikan persamaan (2) dan (4)
9B + 3E + F = 0
9B – 3E + F = 0 -
6E = 0
E = 0
E = 0 disubtitusikan ke persamaan (3)
sehingga
9B + F = 0 ó F = -9B
Misalkan B = 1 maka F = -9
Eliminasikan persamaan (5) dan (6)
25A/4 + 25B/9 + 25C/6 + 5D/2 + 5E/3 + F
= 0
25A/4 + 25B/9 - 25C/6 - 5D/2 + 5E/3 + F
= 0 -
25C/3 + 5D = 0
Subtitusikan D = 0 ke 25C/3 + 5D = 0,
sehingga didapatkan :
25C/3 = 0 ⇔
C = 0
Jadi didapatlah A=1, B=1, C=0, D=0,
E=0, F=-9
Sehingga persamaan umumnya adalah x2 +
y2 - 9 = 0 ⇔ x2 + y2 = 9
Cara 2 : Dengan menggunakan persamaan
lingkaran
Persamaan lingkaran adalah (x – a)2 + (y –
b)2 = r2
Subtitusikan titik pusat dan jari-jari
kepersamaan lingakaran :
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 32
x2 + y2 = 9
Sifat – sifat lingkaran
a.) Secara
geometri :
Lingkaran mempunyai
titik pusat dan berjarak sama pada suatu titik tertentu.
b.) Secara
aljabar :
Persamaan
umum : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 . Dengan (a,b) adalah titik pusat dan r adalah
jari-jari.
Syarat-syarat pada persamaan lingkaran
x2 + y2 – 2ax – 2by +
c = 0
c = a2 + b2 – r2
Ada beberapa syarat untuk nila c
[1]
Untuk nilai c = 0
a2 + b2 = r2
(x – a)2 + (y – b)2 =
a2 + b2
x2 + y2 – 2ax – 2by +
a2 + b2 = a2 + b2
x2 + y2 – 2ax – 2by =
0
(x – a)2 + (y – b)2 =
a2 + b2 => r2 = a2 + b2
Lingkaran berpusat di
(a,b) berjari-jari (a2+b2)1/2
[2]
Untuk nilai c > 0
a2 + b2 – r2 > 0
a2 + b2 > r2
(a2 + b2)1/2 > 0
[3]
Untuk nilai c < 0
a2 + b2 – r2 < 0
a2 + b2 < r2
(a2 + b2)1/2 < 0
Garis Singgung (Tangent) Lingkaran
Ruas garis AB adalah jari-jari
g adalah garis singgung di B
Garis singgung akan tegak lurus
terhadap jari-jari.
Garis Singgung antara Dua Lingkaran
1.
Garis singgung persekutuan dalam
Garis
perpanjangan AB adalah garis singgung persekutuan dalam yaitu garis singgung
dua lingkaran yang memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran.
2.
Garis singgung persekutuan luar
Garis
perpanjangan AB adalah garis singgung persekutuan luar yaitu garis singgung dua
lingkaran yang tidak memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran.
Hubungan dua garis singgung lingkaran
1.
Garis singgung sejajar
Garis g // garis h.
CD ⊥
garis g dan CD ⊥ garis h.
mg = mh => mCD = -1/mg = -1/mh
2.
Garis singgung berpotongan
Garis singgung h dan I berpotongan di
titik D.
Titik B adalah garis singgung h dan
titik C adalah garis singgung i.
BC ⊥
AD.
AD adalah perpanjangan jari-jari.
Hubungan antara letak titik dengan
lingkaran :
1) Jika
dimasukkan suatu titik ke persamaan lingkaran, kemudian jari-jarinya >
jari-jari persamaan awal lingkaran, maka titik tersebut berada di luar
lingkaran.
2) Jika
dimasukkan suatu titik ke persamaan lingkaran, kemudian jari-jarinya =
jari-jari persamaan awal lingkaran, maka titik tersebut berada pada lingkaran.
3) Jika
dimasukkan suatu titik ke persamaan lingkaran, kemudian jari-jarinya <
jari-jari persamaan awal lingkaran, maka titik tersebut berada di dalam
lingkaran.
Tali Busur
Tali busur adalah
suatu garis yang memotong lingkaran. Sedangkan tali busur snggung adalah garis
yang menghubungkan dua titik singgung.
Garis Kutub
1.
Persamaan Garis Kutub
Kita dapat menentukan
persamaan garis kutub dengan contoh dibawah ini :
Diketahui
suatu persamaan lingkaran x2 + y2 = r2 . dari titik B dapat dibuat dua garis
singgung S1(x1,y1) dan S2(x2,y2). Maka garis S1 dan S2 disebut tali busur
singgung yaitu garis yang menghubungkan dua titik singgung. Maka persamaan
garis kutub B(x0,y0) terhadap x2 + y2 = r2 adalah x0x+y0y=r2
2.
Sifat-Sifat Garis Kutub
a) Menguhubungkan
dua titik singgung dari garis-garis singgung yang berpotongan di (x0,y0)
b) Tegak
lurus terhadap garis yang menghubungkan (x0,y0) dari titik pusat ke lingkaran.
Sumber :
Catatan Kuliah , Modul Belajar
Sukirman, 1994, Geometri Analitik
Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.
thanks
BalasHapus