P E N D A H U L U A N.

Bismillah, ahlan wa sahlan. dengan teman-teman menjumpai blog ini. Itu berarti saya telah menyelesaikan tugas mata kuliah geometri analitik hehe (senyum) dan semoga saya mendapatkan nilai A pada mata kuliah ini. Aamiiin...

[Info: Agar memudahkan teman-teman untuk menemukan artikel,bab,ataupun materi berikutnya. Silahkan dilihat pada daftar judul dan bab atau mesin pencari dimenu sebelah kiri.]

Yuk langsung saja disimak penjelasannya. Selamat Belajar!

A.    Sejarah Geometri Analitik

Geometri analitik merupakan kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Konsep titik diperkenalkan dalam Geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang.

Kedudukan titik (locus of point) adalah titik-titik yang terdapat pada suatu bidang yang membentuk himpunan dan memenuhi suatu kriteria. Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Contohnya pada persamaan umum lingkaran x² + y² = r² .

B.     Pemecahan Masalah Polya

Pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu:

1.    Understanding the Problem

 Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.        Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.        Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.        Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.         Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2.    Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.        Menemukan pola

b.        Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.         Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.        Membuat table

e.        Membuat diagram / gambar

f.         Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.        Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.        Bekerja mundur (work backward)

i.         Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3.    Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.        Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.        Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.         Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4.    Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.        Memeriksa dengan pembuktian

b.        Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut.

C.    Penggunaan Geogebra dalam Geometri Analitik

GeoGebra adalah software matematika yang dinamis dan bersifat opensource untuk pembelajaran dan pengajaran matematika di sekolah. GeoGebra merupakan suatu sistem geometri dinamis sehingga pada Geobera dapat dilakukan berbagai kegiatan konstruksi dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, serta fungsi, dan mengubah hasil konstruksi selanjutnya. Di sisi lain, persamaan dan koordinat dapat dimasukkan secara langsung pada Input Bar yang disediakan.

Sumber :

Catatan Kuliah , Modul Belajar

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Read More

BAB 8. PERSAMAAN BIDANG DATAR

PERSAMAAN BIDANG DATAR

Persamaan umum pada koordinat kertesius 3 dimensi

Ax + By + Cz + D = 0 dimana A2 + B2 + C2 ≠ 0

Gambarkanlah persamaan berikut untuk menentukan bidang dengan garis :

1. x + 2y + z = 4

Penyelesaian :

     

    Titik potong disumbu-x sehingga y = z = 0

x + 0 + 0 = 4

x = 4

Sehingga (4,0,0)

Titik potong disumbu-y sehingga x = z = 0

0 + 2y + 0 = 4

2y = 4

y = 2

Sehingga (0,2,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = y = 0

0 + 0 + z = 4

z = 4

Sehingga (0,0,4)

2. x + 2z = 6

Penyelesaian :

Titik potong disumbu-x sehingga z = 0

x + 0 = 6

x = 6

Sehingga (6,0,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = 0

0 + 2z = 6

z = 3

Sehingga (0,0,3)

Jika diketahui dua bidang yaitu A1x + B1y + C1z = D1 dan A2x + B2y + C2z = D2, maka

1. Jika θ adalah sudut antara dua bidang ini, maka :

2. Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

3. Dua bidang tersebut sejajar apabila

4. Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

Jika d adalah jarak titik P (x1,y1,z1) ke bidang Ax + By + Cz = D

Sumber :

Catatan Kuliah , Modul Belajar

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Read More

BAB 7. KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

 

Koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy.

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, xy dan arah positif atau negative. Titik x disebut absis, titik y disebut koordinat dan titik z disebut aplikat.

Oktan I : (x+ , y+, z+) Oktan V : (x+ , y+, z-)

Oktan II : (x+ , y-, z+) Oktan VI : (x+ , y-, z-)

Oktan III : (x- , y-, z+) Oktan VII : (x- , y-, z-)

Oktan IV : (x- , y+, z+) Oktan VIII : (x- , y+, z-)

 

Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar dibawah ini, kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x1, y1, z­­1).

|OA| = x1

|AB| = y1

|BP| = z1

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

|OB|2 = |OA|2 + |AB|2

|OB|2 = x12 + y12

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :

|OP|2 = |OB|2 + |BP|2

|OP|2 = x12 + y12 + z12 (jika jarak O ke P(x1,y1,z1))

Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

Mencari jarak suatu titik ke titik yang lain

Dimisalkan titik A(x1,y1,z1) dan titik B(x2,y2,z2), maka untuk mencari jarak AB kita gunakan :

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Panjang Vektor :

Diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 >, maka panjang vektor a adalah :

 Jika diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 > dan b = < b1, b2, b­­3 > maka jarak vektor AB:

Jika vektor u = < u1, u2, u­­3 > dan vektor v = < v1, v2, v­­3 > maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan vektor pada bidang, yaitu :

Apabila vektor u tegak lurus terhadap vektor v maka dapat dibuktikan dengan :

Perkalian Vektor

Jika diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 > dan b = < b1, b2, b­­3 > maka :

Hasil Kali Silang Dua Vektor

Sumber :

Catatan Kuliah , Modul Belajar

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

 

Read More