BAB 1. KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA TITIK

A.  Kedudukan Titik-Titik Dan Jarak Antara Dua Titik 
      Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan mula. Patokan mula dapat diambil dari dua garis yang saling tegak lurus.
      Dua garis yang saling tegak lurus pada umumnya berupa garis horizontal (sumbu x) dan garis vertical (sumbu y). Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV.

Teorema 1.1
    Jika diketahui suatu titik P dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu dimisalkan dengan d dari sebuah titik P, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu lingkaran yang berpusat di P dengan jarak atau jari-jari d.

Teorema 1.2 
    Jika diketahui suatu garis l dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu dimisalkan dengan d, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu garis yang sejajar dengan garis l.

Teorema 1.3 
    Jika diketahui dua titik yaitu titik P dan titik Q sehingga membentuk suatu ruas garis dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama diantara titik P dan titik Q, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu garis yang tegak lurus terhadap ruas garis dan membagi ruas garis menjadi dua bagian sama besar.

Teorema 1.4 
    Jika diketahui dua garis yang sejajar yaitu garis l₁ dan garis l₂ dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan kedua garis tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu garis yang sejajar dengan garis l₁ dan garis l₂ dan terletak diantara garis l₁ dan garis l₂.

Teorema 1.5

Jika diketahui dua garis l₁ dan garis l₂ yang saling berpotongan dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk sepasang ruas garis (bisector) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang dibentuk oleh garis l₁ dan garis l₂.

Teorema 1.6

Jika diketahui dua sisi pada sebuah sudut, dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap kedua sisi tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk sebuah garis yang membagi dua sudut tersebut sama besar.

Teorema 1.7

Jika diketahui dua lingkaran A dan B yang bersifat konsentris (lingkaran yang memiliki titik pusat yang sama) dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua lingkaran tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk sebuah lingkaran baru yang berada diantara lingkaran A dan B dan saling konsentris.

Teorema 1.8

 Jika diketahui sebuah lingkaran k yang berpusat di A, dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap lingkaran k. Maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk dua buah lingkaran yang berada di dalam dan di luar lingkaran k dan saling konsentris.

Teorema 1.9

Jika diketahui sebuah lingkaran lyang berpusat di A, yang berjari-jari kurang dari jarak kedudukan titik-titik terhadap titik pusat A. Maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk sebuah lingkaran yang berada diluar lingakaran l dan saling konsentris.

Contoh : 

Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.

Tahap pemecahan masalah : 

     1)   Understanding the Problem

a.     Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C

Misalkan jarak C ke A adalah d_AC dan jarak C ke B adalah d_CB.

Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik-titik tersebut ?

b.     Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan!

Bentuk kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap.

c.      Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

Jarak titik A ke B

d.     Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

Titik A dan B berbeda posisi.

Jarak d_CA dan d_CB selalu tetap yaitu d_CA = d_CB untuk meskipun posisi C berubah-ubah.

     2)   Devising a Plan

Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah:

a.    Membuat diagram / gambar. 

Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.

b.   Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan.

Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.

  

     3)   Carrying Out the Plan

a.     Membuat diagram / gambar

b.     Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai

Teorema 1.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector). yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar.

Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah garis yang tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu dan membagi ruas garis  menjadi dua bagian sama panjangseperti digambarkan sebagai berikut.

  

     4)   Looking Back   

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara:

a. Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar.

Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana d_CA = d_CB dengan koordinat A(x_a, y_a) dan B(x_b, y_b) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C₁(x₁, y₁), C₂(x₂, y₂), … Cn(x_n, y_n) yaitu : 

(a) jika ruas garis  tegak lurus sumbu x maka y₁ = y₂ = … = y_n

(b) jika ruas garis  tegak lurus sumbu y maka x₁ = x₂ = … = x_n

B. Sistem Koordinat Kartesius

Koordinat kartesius adalah suatu bidang koordinat yang dibentuk oleh dua buah garis yaitu garis x (sumbu x) yang mendatar dan garis y (sumbu y) yang tegak, yang saling berpotongan. Penemu koordinat kartesius adalah Descartes. Dalam menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang datar kita memerlukan koordinat kartesius tegak lurus. Dengan adanya koordinat kartesius ini, dapat mempermudah dan menyederhanakan permasalahan/ konsep-konsep aljabar dan geometri.

Sumber :

Catatan Kuliah , Modul Belajar

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.